正面我赢，反面您输

本文将通过简单的硬币游戏，带大家了解各位在交易过程中可能遇到的小问题，并从统计学的角度，给出一个明确的答案。

假设您的朋友让您在抛硬币时下注。如果硬币正面朝上，他会付给您60%的赌注。如果是反面，您给他40%的报酬。这听起来很划算，因为根据他的要求计算，平均回报率为10%。

即：(0.6+ 1.6 ) / 2=1.1

如果您以1美元开始，连续抛100次硬币，将前一次抛硬币中赢或亏的剩余部分全部下注，那么您的平均收益将是13780.61美元。这听起来是个不错的提议。

投掷100次后，您应该有足够的机会发挥那10%的优势。

我们来进行1万次连续抛100次硬币的投注，看看最终结果吧。下面的图表中，y轴是您拥有多少钱的结果(为了显示方便，我们使用对数刻度)。x轴则代表着硬币反转的次数。经过模拟验证之后，它提供了一个清晰的视图。

令人意外的是，您玩这个硬币游戏的时候，65%的时间都在亏钱。中值为0.22美元。您有四分之一的概率，会几乎损失您的全部资金(低于0.01美元)。

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那么发生了什么?

为什么您没有得到您的“预期回报”?考虑结果的一种方法是，通过统计分布来观察。

上面看似数不清的路径中，上限的最终收益为2600万美元。这提高了算术平均数。如果所有其他路径的结果都是0美元，那么仅这一个结果就可以将平均值提高不少。换句话说，这个分布有一个长尾(longtail)。

还要考虑到需要更多的收益(%)来弥补损失。对于每40%的损失，我们需要随后的67%的收益才能回到平衡(目标/当前-1=1/0.6-1)。不幸的是，当硬币朝相反方向落下时，我们只能获得60%的收益。

在结果通过乘法复合的情况下，几何平均值是一个更好的平均统计量。

几何平均值是每个结果的乘积，取其个数的平方根。在这种情况下，您的几何平均回报是-2%。100次的几何预期收益是0.13美元

几何平均值=(0.6 * 1.6)^(0.5)=0.98

注：^0.5即开平方根

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在硬币问题上究竟值不值得?

在这个问题上继续赌上您的钱，注定大部分时间都会亏损，所以它成为了您朋友的提款机。从长远来看，下这个赌注有一些问题。

他有65%的机会赚到零用钱，但他有5%的机会欠您超过500美元，最多2600万美元。如果没有碰到类似的情况当然最好。

综上所述，您和您的朋友一起玩这个游戏可能是值得的。虽然输1美元的几率很大(没什么大不了的)，但同样有很小的概率赢几百美元(或更多)。收益的不对称性可能是值得的。

如果您最初的赌注被迫很大，这种情况对您来说就变得难以忍受了。我想知道我们能否通过更明智地下注来补救这一点。

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凯利公式下的赌注

凯利公式下的押注概念是，您可以通过减少您的押注规模来提高您的中值(或几何平均)回报。它限制了您的损失，所以在接下来的回合中，您仍然可以进行合理的赌注。您的奖金也会减少，但如果您有一个平均优势，您可能会用一个较低的平均回报来换取一个较高的中值回报。

传统的凯利赌注是您手中潜在现金的固定百分比。在赔率、收益和损失都是固定的情况下，可以计算出最佳的押注规模。

投注百分比=(赢的概率)/(损失的百分比)-(输的概率)/(盈利的百分比)

=0.5 / (0.4) + (0.5) / 0.6 = 0.4167

我们可以通过模拟来验证这种押注规模的选择。我从1%开始，重新运行了100次硬币投掷的10000条路径。正如预期的那样，几何平均回报率在41.67%的押注规模附近达到峰值。

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结论

有了这个新知识，您可以放心地和您的朋友打赌。只要记住，每次抛硬币的赌注要比您的钱的一半少一点。下面是优化后的资金收益与原始设置相比，同样是10000次模拟。

经过凯利公式优化后的打赌组别我们用橙色表示，显然橙色路径更紧密，且分布中心大于1。

在这些新情况下，您的现金头寸中值为6.16美元。且只有0.06%的机会损失所有的钱。

无论在交易还是投资领域，凯利公式都是优化资金管理的重要手段，如果您的交易进行的并不顺利，不妨从这个角度重新设计一下自己的策略。

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