一个简单的仓位控制理论

在量化交易之中，我们会根据各种各样的方法得到对未来价格变化的预测，在得到这些预测之后，该如何进行交易呢？一个非常直观且简单的方法是设定一些阈值，例如，开仓阈值，和平仓阈值。如果预测未来价格上涨超过开仓阈值，交易者就开一手多单，然后一直持有，直到预测未来价格下跌会超出平仓阈值，就平掉之前持有的多单。交易者可能会对历史数据进行回溯测试，以得到使得历史收益最优的开仓阈值和平仓阈值。

这样的做法非常常见，但并不令人感到十分满意，因为它只给出了一个做法的特例，无法回答很多更一般性的问题。例如：

• 有时候预测未来上涨的幅度小，有时候预测未来的上涨幅度大，这两种情况下是应该开相同的仓位，还是应该开不同的仓位？

• 如果应该开不同的仓位，那么开仓的数量与预测幅度之间应该有什么样的函数关系？

• 预测未来 1 分钟会上涨 10 分钱，和预测未来 10 分钟会上涨 10 分钱，应该下注的数量是一样的吗？

• 如果我已经持有一些多单，此时又遇到上涨信号，我是应该加仓，还是对这个信号置之不理？

• 如果这时遇到下跌信号，我是应该平仓，还是应该继续观望？

• 平仓阈值和开仓阈值之间是否有一定的关系，还是干脆就让这两个阈值相等？

要回答这些问题并不需要很高深的知识，一些简单的推导即可给出答案，并且在一定条件下可以证明答案的最优性。本文力图用较为直白的语言说明应该如何按照预测信号来控制交易仓位。根据本文介绍的理论，当交易者得到了预测序列，他就可以根据其推导出与之对应的合适的持仓序列。

从我们与众多投资者交流的经验看，很多投资者对如何控制仓位和风险较为关注，我们有时需要较为详细的解释我们所采用的仓位和风险控制办法。虽然本文所介绍的仓位控制理论本质上来讲比较直观，但凭借即兴的口头交流也常常会说不清楚，因此，这里稍微微总结一下，对此有兴趣的朋友可以通过这篇文章来了解我们控制仓位和风险的初步原理和做法。对文中的疏漏和错误之处，也请和我们多多探讨。

一、效用理论

我们之所以愿意进行某笔交易，是因为进行这一笔交易可以增加我们的效用。那么，最优的交易策略即是能够使得我们自身效用最大化的策略。

在经济学理论中，效用函数可以有多种形式。其中最为常用的之一是下面这个样子的：

 

其中 > 0。这里代表某个人所拥有的财富，()代表他因为拥有这些财富所产生的效用。显然，越大，()也就越高。但是随着的不断增大，每增加一单位的财富，所带来的效用增加是递减的。

现在有一个交易机会摆在他面前，根据他的预测，他有的概率赢，如果赢了，就会增加+的财富；有1 − 的概率输，如果输了，就会减少−的财富。那么他是否应该接受这个交易呢？那么他只需要算一下期望，看自己的预期效用是否会因为这笔交易而增加就行了。

二、均值-方差效用

如果他参与的是股票交易，以上的决策可以更加简化一点。

假设根据他的预测，股票会在接下来的Δ时间价格从上涨到 + 。如果Δ不是特别长（从数秒到数天，都可以认为不是特别长），我们简单的近似认为根据他的预测和股票的波动性，股票在Δ之后实际实现的价格为，而 服从均值为 + ，方差为^2^2∆的正态分布。其中^2是股票波动率的平方。

之所以能够做这些近似，是因为我们假设交易者能够正确预测Δ时刻之后价格的期望值在哪里，并且这里进一步假设实际实现的价格的方差可以用股票自身的波动性来描述。由于Δ不是太长，因此 ≈ ，我们也就简单的认为方差等于^2^2∆。这里的假设是否符合实际情况大家可以自己探讨。

如果交易者从的现金中拿出 × 的钱买了份股票，那么Δ时间之后，他的投资组合效用变为

 

，其中 − 是Δ时间之后他所持有的现金，是Δ时间之后他所持有的股票的价值。

Δ时间之后，他的效用的期望值是：

 

至此，交易者该如何根据预测来交易股票就很明显了。因为只需要取一个，使得

 

最大就行了，这个时候交易者就可以达到效用最大化。这个式子也就是大家常用的均值-方差效用，它的第一项是收入的均值，第二项是持仓的方差乘以/2。后文我们称为风险厌恶系数。

三、实际交易中如何开仓

在实际交易中，交易者还会遇到手续费，印花税，买卖价差等成本。假设买入一份股票的手续费是，印花税是，买卖价差是。

如果我们预测Δ之后，股票的买卖中间价会上涨，而买入份股票的时候，是直接成交对方的卖出价格，这样就支付了乘以/2的买卖价差成本，同时，还得支付手续费。虽然股票只有在卖出时才需要缴纳印花税，但这里我们把印花税折了一半作为成本在开仓时计算。此时，我们需要最大化的均值-方差效用就变成了：

 

因此，最优开仓仓位就变成了：

 

这里可以看出，最优开仓仓位正比于的大小，只是需要扣减掉交易费用。并且，最优开仓仓位还反比于风险厌恶系数，和股票波动率。也就是在相同上涨幅度的情况下，风险厌恶系数越高，股票波动越大，应该开仓位越小。

当然，实际开仓时，只能取与上述值较为接近的一个整数。

这里还有一个较有意思的隐含结论，就是如果交易者在两个不同的时间尺度下预测了相同的上涨幅度，比如，一个预测是 1 分钟内会上涨 10 分钱，另一个预测是 10 分钟内会上涨 10 分钱，那么交易者对第一个预测所下的赌注应当是第二个预测的 10 倍，这是因为对第二个交易机会下注，所冒的风险比第一个机会要大得多。

四、如何增仓减仓或者平仓？

假设交易者现在已经持有n份股票，和 − 的现金，与此同时，他预测股票会在接下来的Δ时间价格从上涨到 + ′。设n是股票涨幅为下的最优持仓。

如果′ = ，那么交易者什么都不用做，继续持有份股票即可。

如果′ > ，交易者可以考虑试一试增加仓位。如果交易者新买入L份股票，那么Δ之后，交易者的效用的期望是：

 

上式基本上是(1)的翻版，只是把替换成了 + ，并且扣除掉了调仓产生的交易费用

 

为了使的上面的效用最大，需要取：

 

考虑到

 

那么也可以写为：

 

由上式可见，在扣除掉交易费用后，最优增仓幅度正比于预测的涨幅的增加量′ − 。

同理，如果′ < ，重复上面的过程，可得如果让预期效用达到最大，应该减仓：

 

同样考虑到

 

可以写为：

 

上式说明，在扣除掉交易费用后，最优减仓幅度正比于预测的涨幅的下降程度 −′。

特别的，可以考虑什么时候减仓幅度 = ，即应该平掉所有仓位？由上面可知，只需令：

 

即可。这样，就得到平仓条件是

 

也就是，如果交易者持有多头仓位，那么如果他预测接下来的Δ时间里，下跌幅度会超出平仓所需费用，那么，他就可以平掉所持仓位。

经过以上的讨论我们还可以发现，交易者不再需要费力去分别设定开仓条件和平仓条件，取而代之，交易者只需要确定风险厌恶系数，他即可以统一的确定开仓条件和平仓条件。

五、不足之处

上述的仓位控制理论大致归纳一下，可以描述成：在扣除掉交易费用之后，最优持仓变动总是正比于预测涨幅的大小的变动；并且，交易者的风险厌恶系数越大，股票波动性越高，交易者预测的时间尺度越长，这个比例就越低。

这个简单的理论有非常多的不足之处。其中最为显著的一点是，这个理论仅考虑最大化∆时间之内的预期效用，而实际上，交易者应该最大化他整个交易生涯的效用。如果交易者是一个日内交易者，那么他应该最大化一个交易日的预期效用。事实上，我们的研究人员在对预测信号作为一个随机过程进行了一定的假设之后，给出了最大化一个交易日预期效用的经验解。只是这个解的实用程度非常取决于对交易信号的随机过程建模是否符合实际情况。

其他诸多值得探讨的问题点包括效用函数的形式是否合理，未来价格服从正态分布的假设是否合理等等。即使有以上诸多缺点，这个理论由于其简洁性仍然相当实用，并且可以作为发展进一步更复杂理论的基础。

 

文章首发于公众号：外汇教主笔记